Физический смысл производной. Задачи! Производная от координаты по времени есть скорость

Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:

Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.

Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.

Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:

Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).

Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):

Рассмотрим задачи:

x (t) = t 2 – 7t – 20

где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)

Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

При t = 5 имеем:

Ответ: 3

Решить самостоятельно:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t 2 – 48t + 17, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Найдем закон изменения скорости:

Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:

Ответ: 3

Решите самостоятельно:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t 2 – 13t + 23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.

Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

До сих пор понятие производной мы связывали с геометрическим представлением графика функции. Однако было бы грубой ошибкой ограничивать роль понятия производной одной лишь задачей об

определении наклона касательной к данной кривой. Еще более важной, с научной точки зрения, задачей является вычисление скорости изменения какой бы то ни было величины меняющейся с течением времени. Именно с этой стороны Ньютон и подошел к дифференциальному исчислению. В частности, Ньютон стремился проанализировать явление скорости, рассматривая время и положение движущейся частицы как переменные величины (по выражению Ньютона, «флюэнты»). Когда некоторая частица движется вдоль оси х, то ее движение вполне определено, раз задана функция указывающая положение частицы х в любой момент времени t. «Равномерное движение» с постоянной скоростью по оси х определяется линейной функцией где а есть положение частицы в начальный момент

Движение частицы на плоскости описывается уже двумя функциями

которые определяют ее координаты как функции времени. В частности, равномерному движению соответствуют две линейные функции

где две «компоненты» постоянной скорости, а а и с - координаты начального положения частицы (при траекторией частицы является прямая линия, уравнение которой

получается путем исключения из двух стоящих выше соотношений.

Если частица движется в вертикальной плоскости х, у под действием одной лишь силы тяжести, то движение ее (это доказывается в элементарной физике) определено двумя уравнениями

где постоянные величины, зависящие от состояния частицы в начальный момент, ускорение силы тяжести, равное приблизительно 9,81, если время измеряется в секундах, а расстояние - в метрах. Траектория движения, получаемая путем исключения из двух данных уравнений, есть парабола

если только в противном случае траекторией является отрезок вертикальной оси.

Если частица вынуждена двигаться по некоторой данной кривой (подобно тому как поезд движется по рельсам), то движение ее может быть определено функцией (функцией времени равной длине дуги вычисляемой вдоль данной кривой от некоторой начальной точки до положения частицы в точке Р в момент времени Например, если речь идет о единичном круге то функция определяет на этом круге равномерное вращательное движение со скоростью с.

Упражнение. Начертить траектории плоских движений, заданных уравнениями: в описанном выше параболическом движении предположить начальное положение частицы (при в начале координат и считать Найти координаты самой высокой точки траектории. Найти время и значение х, соответствующие вторичному пересечению траектории с осью

Первой целью, которую поставил себе Ньютон, было нахождение скорости частицы, движущейся неравномерно. Рассмотрим для простоты движение частицы вдоль некоторой прямой линии, заданное функцией Если бы движение было равномерным, т. е. совершалось с постоянной скоростью, то эту скорость можно было бы найти, взяв два момента времени и соответствующие им положения частиц и составив отношение

Например, если измерено в часах, а ; в километрах, то при разность будет число километров, пройденных за 1 час, скорость (километров в час). Говоря, что скорость есть величина постоянная, имеют в виду лишь то, что разностное отношение

не изменяется при любых значениях Но если движение неравномерно (что имеет, например, место при свободном падении тела, скорость которого по мере падения возрастает), то отношение (3) не дает значения скорости в момент а представляет собой то, что принято называть средней скоростью в промежутке времени от до Чтобы получить скорость в момент нужно вычислить предел средней

скорости при стремлении Таким образом, вместе с Ньютоном определим скорость так:

Другими словами, скорость есть производная от «пройденного пути» (координаты частицы на прямой) по времени, или «мгновенная скорость изменения» пути по отношению ко времени - в противоположность средней скорости изменения, определяемой по формуле (3).

Скорость изменения самой скорости называется ускорением. Ускорение - это просто производная от производной; оно обычно обозначается символом и называется второй производной от функции

Галилейзаметил, что вертикальное расстояние х, проходимое при свободном падении тела в течение времени выражается формулой

Иногда в задаче B9 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.

На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» B9.

Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.

Если $S=x\left(t \right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:

Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.

Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.

Пример № 1

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.

Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.

Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.

Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:

\[{x}"\left(t \right)=-\frac{1}{5}\cdot 5{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5\]

\[{x}"\left(t \right)=-{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5\]

Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:

\[{x}"\left(2 \right)=-{{2}^{4}}+4\cdot {{2}^{3}}-3\cdot {{2}^{2}}+5=\]

\[=-16+32-12+5=9\]

Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.

Пример № 2

Материальная точка движется по закону:

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?

Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.

В первую очередь, вновь ищем производную:

\[{x}"\left(t \right)=\frac{1}{3}\cdot 3{{t}^{2}}-4\cdot 2t+19\]

\[{x}"\left(t \right)={{t}^{2}}-8t+19\]

От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:

\[{{t}^{2}}-8t+19=3\]

\[{{t}^{2}}-8t+16=0\]

\[{{\left(t-4 \right)}^{2}}=0\]

Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

Ключевые моменты

В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.

Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.

Алгебра щедра. Зачастую она дает больше, чем у нее спрашивают.

Ж.Даламбер

Межпредметные связи являются дидактическим условием и средством глубокого и всестороннего усвоения основ наук в школе.
Кроме того, они способствуют повышению научного уровня знаний учащихся, развитию логического мышления и их творческих способностей. Реализация межпредметных связей устраняет дублирование в изучении материала, экономит время и создаёт благоприятные условия для формирования общеучебных умений и навыков учащихся.
Установление межпредметных связей в курсе физики повышает эффективность политехнической и практической направленности обучения.
В преподавании математики очень важна мотивационная сторона. Математическая задача воспринимается учащимися лучше, если она возникает как бы у них на глазах, формулируется после рассмотрения каких-то физических явлений или технических проблем.
Сколько бы ни говорил учитель о роли практики в прогрессе математики и о значении математики для изучения физики, развития техники, но если он не показывает, как физика влияет на развитие математики и как математика помогает практике в решении её проблем, то развитию материалистического мировоззрения будет нанесен серьёзный ущерб. Но для того, чтобы показать, как математика помогает в решении её проблем, нужны задачи, не придуманные в методических целях, а возникающие на самом деле в различных областях практической деятельности человека

Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

о разыскании касательной к произвольной линии;
о разыскании скорости при произвольном законе движения.

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Николо Тартальи (около 1500 – 1557гг.) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной.

Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л.Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Некоторые применения производной в физике

Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции .

Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Таким образом,

Значит, чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x 0 по определению, нужно:

Рассмотрим несколько физических задач, при решении которых применяется эта схема.

Задача о мгновенной скорости. Механический смысл производной

Напомним, как определялась скорость движения. Материальная точка движется по координатной прямой. Координата х этой точки есть известная функция x(t) времени t. За промежуток времени от t 0 до t 0 + перемещение точки равно x(t 0 + ) – x(t 0) – а её средняя скорость такова: .
Обычно характер движения бывает таковым, что при малых , средняя скорость практически не меняется, т.е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным. Другими словами, значение средней скорости при стремится к некоторому вполне определённому значению, которое называют мгновенной скоростью v(t 0) материальной точки в момент времени t 0 .

Итак,

Но по определению
Поэтому считают, что мгновенная скорость в момент времени t 0

Аналогично рассуждая, получаем, что производная от скорости по времени есть ускорение, т.е.

Задача о теплоемкости тела

Чтобы температура тела массой в 1г повысилась от 0 градусов до t градусов, телу необходимо сообщить определенное количество тепла Q . Значит, Q есть функция температуры t , до которой тело нагревается: Q = Q(t). Пусть температура тела повысилась с t 0 до t. Количество тепла, затраченное для этого нагревания, равно Отношение есть количество тепла, которое необходимо в среднем для нагревания тела на 1 градус при изменении температуры на градусов. Это отношение называется средней теплоёмкостью данного тела и обозначается с ср .
Т.к. средняя теплоёмкость не дает представления о теплоёмкости для любого значения температуры Т, то вводится понятие теплоёмкости при данной температуре t 0 (в данной точке t 0 ).
Теплоемкостью при температуре t 0 (в данной точке) называется предел

Задача о линейной плотности стержня

Рассмотрим неоднородный стержень.

Для такого стержня встаёт вопрос о скорости изменения массы в зависимости от его длины.

Средняя линейная плотность масса стержня есть функция его длины х .

Таким образом, линейная плотность неоднородного стержня в данной точке определяется следующим образом:

Рассматривая подобные задачи, можно получить аналогичные выводы по многим физическим процессам. Некоторые из них приведены в таблице.

Функция	Формула	Вывод
m(t) – зависимость массы расходуемого горючего от времени.		Производная массы по времени есть скорость расхода горючего.
T(t) – зависимость температуры нагреваемого тела от времени.		Производная температуры по времени есть скорость нагрева тела.
m(t) – зависимость массы при распаде радиоактивного вещества от времени.		Производная массы радиоактивного вещества по времени есть скорость радиоактивного распада.
q(t) – зависимость количества электричества, протекающего через проводник, от времени		Производная количества электричества по времени есть сила тока .
A(t) – зависимость работы от времени		Производная работы по времени есть мощность .

Практические задания:

Снаряд, вылетевший из пушки, движется по закону x(t) = – 4t 2 + 13t (м). Найти скорость снаряда в конце 3 секунды.

Количество электричества, протекающего через проводник, начиная с момента времени t = 0 c, задаётся формулой q(t) = 2t 2 + 3t + 1 (Кул) Найдите силу тока в конце пятой секунды.

Количество тепла Q (Дж), необходимого для нагревания 1 кг воды от 0 o до t o С, определяется формулой Q(t) = t + 0,00002t 2 + 0,0000003t 3 . Вычислите теплоемкость воды, если t = 100 o .

Тело движется прямолинейно по закону х(t) = 3 + 2t + t 2 (м). Определите его скорость и ускорение в моменты времени 1 с и 3 с.

Найдите величину силы F, действующей на точку массой m, движущуюся по закону х(t) = t 2 – 4t 4 (м), при t = 3 с.

Тело, масса которого m = 0,5кг, движется прямолинейно по закону х(t) = 2t 2 + t – 3 (м). Найдите кинетическую энергию тела через 7 с после начала движения.

Заключение

Можно указать еще много задач из техники, для решения которых также необходимо отыскивать скорость изменения соответствующей функции.
Например, отыскание угловой скорости вращающегося тела, линейный коэффициент расширения тел при нагревании, скорость химической реакции в данный момент времени.
Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению скорости изменения функции или, иначе, к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, оказалось необходимым выделить такой предел для произвольной функции и изучить его основные свойства. Этот предел и назвали производной функции.

Итак, на ряде примеров мы показали, как различные физические процессы описываются с помощью математических задач, каким образом анализ решений позволяет делать выводы и предсказания о ходе процессов.
Конечно, число примеров такого рода огромно, и довольно большая часть из них вполне доступна интересующимся учащимся.

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн .

Список литературы :

Абрамов А.Н., Виленкин Н.Я. и др. Избранные вопросы математики. 10 класс. – М: Просвещение, 1980.
Виленкин Н.Я., Шибасов А.П. За страницами учебника математики. – М: Просвещение,1996.
Доброхотова М.А., Сафонов А.Н . Функция, её предел и производная. – М: Просвещение, 1969.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М: Просвещение, 2010.
Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике. – М: Учпедгиз, 1963.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, ч.1 – М: Наука, 1955.
Яковлев Г.Н. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа, ч.1 – М: Наука, 1987.

Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин ε и х было придумано специальное обозначение: ε обозначается как ∆t, а х - как ∆s. Величина ∆t означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать меньше. Значок ∆ ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sin θ не означает s·i·n·0. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок ∆ напоминает нам о его особом характере. Ну, а если ∆ не множитель, то его нельзя сократить в отношении ∆s/∆t. Это все равно, что в выражении sin θ/sin 2θ сократить все буквы и получить 1/2. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения ∆s/∆t при ∆t, стремящемся к нулю, т. е.

Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно величины изменяются.
Существует еще один закон, который выполняется с хорошей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скорости, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. ∆s = υ∆t. Это правило строго справедливо только тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала ∆t, а это, вообще говоря, происходит, только когда ∆t достаточно мало. В таких случаях обычно пишут ds = υdt, где под dt подразумевают интервал времени ∆t при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал ∆t достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение ∆s = υ∆t будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подразумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds = υdt точное. В новых обозначениях выражение (8.5) имеет вид

Величина ds/dt называется «производной s по t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный процесс нахождения производной называется, кроме того; дифференцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t 2 , или просто производную от 5t 2 . Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте найдем производную более сложной функции. Рассмотрим выражение s = At 3 + Bt + С, которое может описывать движение точки. Буквы А, В, С, так же как и в обычном квадратном уравнении, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t + ∆t, причем к s прибавится некоторая добавка ∆s, и найдем, как выражается ∆s через ∆t. Поскольку

Но нам нужна не сама величина ∆s, а отношение ∆s/∆t. После деления на ∆t получим выражение

которое после устремления ∆t к нулю превратится в

В этом состоит процесс взятия производной, или дифференцирования функций. На самом деле он несколько легче, чем это кажется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, подобных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (∆t) 2 или (∆t) 3 или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем ∆t устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8.3.